Rudolf Steiner over rekenen / wiskunde

Welk vermogen ontplooien we eigenlijk als we wiskundig denken?
Laten we deze vraag eens stellen. Als we deze vraag willen beantwoorden, moeten we geloof ik een zaak heel goed begrijpen. Die zaak bestaat er enerzijds uit, dat we ook aangaande het leven van de mens het begrip 'wording' serieus moeten nemen, dat wil zeggen dat we uit moeten gaan van de gedisciplineerdheid in de moderne natuurwetenschap, onszelf met behulp daarvan moeten ontwikkelen, en wat we ons daardoor aan strenge methode en aan wetenschappelijke discipline eigen hebben gemaakt, moeten we boven de natuurwetenschap zelf uit zien te brengen, zodat we hogere gebieden betreden met dezelfde houding die we in de natuurwetenschap aan de dag leggen, maar dan toegepast op heel andere gebieden. Ik geloof daarom ook niet en ik zeg dit onomwonden dat iemand werkelijk geesteswetenschappelijk inzicht kan bereiken, die niet in de strikte zin van het woord over een natuurwetenschappelijke scholing beschikt of die geen onderzoek heeft leren doen en heeft leren denken in de laboratoria en via de methode van de moderne natuurwetenschap. De geesteswetenschap heeft al helemaal geen reden om deze moderne natuurwetenschap te onderschatten. Integendeel, ze neemt die volkomen serieus. Het wordt mij door veel mensen nogal kwalijk genomen wanneer ik me deze persoonlijke opmerking mag veroorloven dat ik, voordat ik eigenlijk met iets geesteswetenschappelijks naar buiten trad, juist eerst veel over natuurwetenschappelijke onderwerpen heb geschreven vanuit de invalshoek die mij noodzakelijk voorkwam. Het gaat er dus om dat we ons aan de ene kant de natuurwetenschappelijke instelling eigen maken, zodat die doorwerkt wanneer we over de grenzen van de natuurwetenschap heen komen. En ten tweede moeten we zelfs de kwaliteit van deze natuurwetenschap, respectievelijk de resultaten van deze natuurwetenschap heel serieus nemen.

Ziet u, als we het eenvoudige verschijnsel nemen dat we een voorwerp langs een ander voorwerp wrijven en er ontstaat warmte, dan zeggen we in de natuurwetenschap ten aanzien van een dergelijk deelverschijnsel niet dat deze warmte uit het niets is ontstaan, of dat deze warmte er eenvoudig is, maar we zoeken naar de voorwaarden waaronder deze warmte voordien latent aanwezig was en dan door middel van die voorwerpen te voorschijn komt. We gaan van het ene verschijnsel naar het andere en nemen de wording serieus. Op dezelfde wijze moeten we te werk gaan wanneer we een begrip in de geesteswetenschap willen invoeren. En zo moeten we ons eerst afvragen: is het vermogen van de mens om wiskundig te denken altijd aanwezig in zijn leven tussen geboorte en dood? Nee, het is er niet altijd. Het wiskundig denken ontwaakt. Wel kunnen we heel precies waar nemen en hier blijven we ten opzichte van de uiterlijke wereld ook nog binnen de empirie hoe stap voor stap uit de donkere ondergrond van het menselijke bewustzijn die innerlijke vermogens ontwaken, die zich dan uiten in een wiskundig denken en in daarmee vergelijkbare vormen waarover we hierna nog zullen spreken. Als we dit tijdstip nauwkeurig en goed bekijken en het net zo benaderen als de natuurwetenschap fenomenen als het smeltpunt of het kookpunt benadert, dan valt het ongeveer in de levensfase waarin het kind zijn tanden wisselt, waarin het blijvend gebit in de plaats komt van de melktanden. Een dergelijk tijdstip in de menselijke ontwikkeling moeten we vanuit dezelfde gezindheid beschouwen als waarmee we bijvoorbeeld in de natuurkunde geleerd hebben het smeltpunt of het kookpunt te behandelen. We moeten ons het vermogen eigen maken om in het complexe leven van de mens deze strenge innerlijke discipline in te brengen, die we van eenvoudige natuurkundige verschijnselen, beschouwd vanuit het oogpunt van de moderne wetenschap, kunnen leren. En als we dat doen, zien we dat in de ontwikkeling van de mens vanaf zijn geboorte, of liever gezegd vanaf zijn conceptie, tot aan het moment van de tandenwisseling, vanuit het lichamelijk gestel weliswaar stap voor stap de innerlijke vermogens tot wiskundig denken naar buiten komen, maar die zijn er dan nog niet. En zoals we zeggen dat de warmte die latent aanwezig is in een voorwerp en in bepaalde omstandigheden te voorschijn komt, vroeger al in dit voorwerp, in de innerlijke structuur van dit voorwerp werkzaam was, zo moeten we duidelijk inzien dat het vermogen tot wiskundig denken dat in de tijd van de tandenwisseling bijzonder sterk, maar stap voor stap op een bepaalde andere manier te voorschijn komt, vroeger al in het menselijk organisme werkzaam is geweest. En zo krijgen we een merkwaardig, veelbetekenend begrip van dit wiskundige vermogen, in de breedste zin van het woord natuurlijk. We gaan begrijpen dat wat we als mens na de tandenwisseling als innerlijk vermogen gebruiken, voordien ordenend en vormend in ons heeft gewerkt. Ja, in het kind is ongeveer tot zijn zevende jaar een innerlijk wiskundig vermogen werkzaam, dat hier niet zo abstract is als de uiterlijke variant ervan, maar doortrokken is van kracht en dat, wanneer ik een uitdrukking van Plato mag gebruiken, niet alleen aanschouwd kan worden, maar vol levenskracht werkzaam is. Er leeft tot dit tijdstip iets in ons dat wiskundig werkt, dat ons innerlijk wiskundig doorkneedt.

Indien we dan eerst heel oppervlakkig de vraag stellen wat we daar empirisch tegenkomen wanneer we het hebben over het latente wiskundige vermogen in het jeugdige kinderlichaam, dan voert ons dat naar drie dingen die naar binnen toe op zintuigen lijken. We zullen in de loop van deze voordrachten nog zien' dat we hier ook werkelijk van zintuigen kunnen spreken. Vandaag wil ik er alleen over zeggen dat we iets gaan bespreken dat naar binnen toe een waarnemingsvermogen ontwikkelt, waarvan we ons alleen in de eerste jaren nog niet bewust zijn, zoals onze ogen en oren naar buiten toe een waarnemingsleven ontwikkelen. Als we in ons innerlijk kijken, maar dan in het binnenste van ons menselijk organisme, niet zoals de vage mystici, maar met al onze vermogens en al onze kennis kijken naar het innerlijk van de mens, dan kunnen we daar drie functies aantreffen die verwant zijn aan onze zintuigen en die juist in de eerste levensjaren een bepaalde wiskundige werkzaamheid uitoefenen. Het betreft in de eerste plaats wat ik de levenszin zou willen noemen. Deze levenszin manifesteert zich in het latere leven als een algehele gewaarwording van ons innerlijk. We voelen ons op een bepaalde manier goed of niet goed. We voelen ons behaaglijk of onbehaaglijk, en precies zoals we via onze ogen een waarnemingsvermogen naar buiten toe bezitten, beschikken we over een waarnemingsvermogen naar binnen. Alleen is dit waarnemingsvermogen als het ware op ons hele organisme gericht en daardoor dof en donker, maar het is aanwezig. We zullen daar nog het een en ander over moeten zeggen. Daarop vooruitlopend wil ik hier alleen zeggen dat deze levenszin in de vitaliteit van het kind wanneer ik deze tautologie mag bezigen zeer in het bijzonder tot aan de tijd van de tandenwisseling werkzaam is.

Een tweede zintuig waarmee we rekening moeten houden wanneer we zo in het innerlijk van de mens kijken, is wat ik de bewegingszin zou willen noemen. Van die bewegingszin moeten we ons een duidelijk beeld vormen. Wanneer we onze ledematen bewegen, hebben we daar niet alleen weet van doordat we onszelf zo'n beetje uiterlijk waarnemen, maar we nemen die beweging ook innerlijk waar. Ook als we lopen zijn we ons van het lopen niet alleen bewust doordat we langs voorwerpen heen gaan en de aanblik van de buitenwereld verandert, maar hebben we een innerlijke waarneming van de beweging van onze ledematen, van veranderingen in onszelf terwijl we ons bewegen. We letten er normaal gesproken alleen niet op, omdat we door de intensiteit van de indrukken van de buitenwereld niet letten op wat daar aan innerlijk leven, aan innerlijke waarneming, parallel aan verloopt, zoals een klein lichtje in zijn sterkte door een groot licht verdwijnt.

En het derde zintuig dat naar binnen is gericht, is de evenwichtszin.

1. levenszin
2. bewegingszin
3. evenwichtszin

Deze evenwichtszin is datgene in ons waardoor we ons op een bepaalde manier in de wereld plaatsen, waardoor we niet omvallen, en op een bepaalde wijze waarnemen hoe we onszelf in harmonie brengen met de krachten van onze omgeving. En dit in harmonie brengen met de krachten van onze omgeving nemen we innerlijk waar. Zodat we werkelijk kunnen zeggen dat we binnen in ons drie innerlijke zintuigen hebben: levenszin, bewegingszin en evenwichtszin. Zij zijn in zeer bijzondere mate gedurende de kindertijd tot aan de tandenwisseling actief Hun werkzaamheid ebt weg tegen de tijd van de tandenwisseling. Maar kijkt u eens, om maar een voorbeeld te noemen, naar de evenwichtszin. Kijk eens hoe het kind aan het begin van zijn leven nog helemaal niets heeft wat lijkt op het zich eigen maken van een evenwichtstoestand die het in het leven nodig heeft. Bedenkt u hoe het kind langzaam maar zeker meester wordt over zichzelf, hoe het eerst op handen en voeten leert kruipen, en hoe het eerst langzamerhand door de evenwichtszin ertoe komt te gaan staan, te gaan lopen en hoe het ertoe komt zichzelf in evenwicht te krijgen.

Als u nu de hele omvang van wat er gebeurt tussen de conceptie en de tandenwisseling begrijpt, dan ziet u daarin de sterke werkzaamheid van deze drie zintuigen. En als u doorziet wat daar gebeurt, dan zult u merken dat in de evenwichtszin en in de bewegingszin zich niets anders afspeelt dan een wiskundig denken in een levende vorm. En om het levend te maken, is juist de levenszin erbij die het door en door levend maakt. Zo zien we innerlijk als het ware latent de hele wiskunde aan de mens werken, die dan met de tandenwisseling bepaald niet afsterft, maar toch aanmerkelijk minder duidelijk wordt in vergelijking met het latere leven. Wat innerlijk in de mens werkzaam is via de evenwichtszin, de bewegingszin en de levenszin komt vrij. De latente wiskunde wordt een vrije wiskunde, zoals ook de latente warmte een vrije warmte wordt. En we zien dan hoe datgene wat aanvankelijk als innerlijk element het organisme heeft doorweven en bezield, als zieleleven vrij komt, en hoe de wiskunde als abstractie uitstijgt boven de toestand waarin zij eerst concreet in het menselijk organisme heeft gewerkt. En we gaan dan, omdat we als mens in ons hele bestaan immers gebonden zijn aan de verhoudingen van tijd en ruimte, we gaan nadat we de wiskunde vrij hebben gemaakt daarmee de buitenwereld in, en begrijpen de buitenwereld met hetgeen tot aan de tandwisseling in ons werkzaam is geweest. U ziet dat de natuurwetenschap niet wordt verloochend; wat tot stand komt als we de gezindheid en de wil die in de geesteswetenschap moeten leven in het juiste licht bezien, is slechts een voortzetting van de natuurwetenschap.

uit: Rudolf Steiner: Voorbij de grenzen van de natuurwetenschap
(GA 322)
3e voordracht - Donach 29 september 1920


Seminarbesprechungen
werkbesprekingen met de eerste Waldorf-leraren

T. stelt een vraagt over kinderen, die moeite hebben met rekenen.

Als u kinderen ontdekt met bijzonder weinig aanleg voor rekenen, dan doet u er goed aan om het volgende te doen. De andere kinderen zullen in de regel twee uur gymnastiek in de week hebben, dat wil zeggen een uur euritmie en een uur gymnastiek. Die kinderen die niet goed rekenen, die laat u samen een heel of een half uur langer euritmie of gymnastiek doen. U hoeft uzelf daardoor niet meer te belasten: u neemt ze samen met anderen die net op dat moment die lessen hebben. Men moet ervoor zorgen dat zulke kinderen juist door gymnastiek en euritmie hun vermogens ontwikkelen.

U laat die kinderen in de eerste plaats staafoefeningen doen. De staaf in de hand: naar voren 1, 2, 3; naar achteren 1, 2, 3, 4. Het kind moet de staaf dus steeds naar voren en naar achteren houden. Het moet zich inspannen om de staaf op de een of andere manier bij 3 naar achteren te krijgen. Dan moet er ook gelopen worden: 3 stappen naar voren, 5 stappen terug; 3 stappen naar voren, 4 terug; 5 naar voren, 3 terug enzovoort. U moet proberen om in de gymnastiek en misschien ook in de euritmie getallen te verbinden met de bewegingen van het kind, zodat het gedwongen is te tellen terwijl het zich beweegt. U zult zien dat dat succes heeft. Ik heb dat diverse keren gedaan bij leerlingen.
En nu vraag ik u: waarom heeft dat succes? Met datgene wat u al geleerd heeft kunt u zich daarover voorstellingen vormen.

Vraag van T.: Euritmische bewegingen moeten toch een goed middel zijn voor de geometrie?

Maar dat bedoelde ik niet. Wat ik zei had betrekking op het rekenen, omdat aan het rekenen een wilsmatig zich bewegen ten grondslag ligt, de bewegingszin. Als men die op deze wijze in werking zet, dan werkt dat als een aansporing op dat vermogen. Men haalt iets omhoog uit het onderbewuste wat bij zo'n kind niet omhoog wil komen. In het algemeen is het zo, dat men door bewegingsoefeningen de gebrekkige vermogens in het rekenen en ook in de geometrie moet stimuleren. Op het gebied van de geometrie zal men veel kunnen doen met zinvolle euritmieoefeningen. Ook met staafoefeningen.

uit: Rudolf Steiner: Praktijk van het lesgeven (GA 295)
8e werkbespreking - Stuttgart, 29 september 1919