Rudolf Steiner over rekenen / wiskunde II

Voor deel I: klik hier


Met mathematische waarheden is het anders gesteld dan met de waarheden, die men kent via uiterlijke waarnemingen.

We zien dat de zon opgaat, maar door deze waarneming hebben we nog niet het recht om te beweren, dat de zon morgen ook zal opgaan. Uit het feit, dat de zon tot nu toe steeds is opgegaan, maken we de gevolgtrekking, dat dat morgen ook zo zal zijn. – Zo is het gesteld met de waarheden, die wij aan de uiterlijke waarneming ontlenen. Maar dit is bijvoorbeeld niet het geval ten opzichte van de mathematische waarheden. Als wij die in één keer hebben begrepen dan weten we, dat ze ook voor de hele verdere toekomst zullen gelden. Wie weet en kan bewijzen dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden (a2 + b2 = c2), die weet dat hij nooit een rechthoekige driehoek zal kunnen tekenen waarvoor dat niet geldt.
Met deze mathematische waarheden is het anders gesteld dan met de waarheden, die men kent door de uiterlijke waarnemingen. Men weet dit, maar men is niet in staat, met de middelen van het huidige onderzoek de oorzaak hiervan in te zien. De oorzaak ligt in het feit, dat de mathematische waarheden uit het diepste innerlijk van de mens opwellen, dat ze voortkomen uit de onderste laag van het bewustzijn van de mens en dat ze, zonder dat de mens het merkt, omhoog wellen naar de bovenste laag van het bewustzijn, waar de mens ze dan innerlijk ziet.

==========
I. voorstellingsleven – wakker bewustzijn – hoofd
II. gevoelsleven – dromend bewustzijn – ritmische systeem (ademhaling/bloedsomloop)
III. wilsleven – slapend bewustzijn – ledenmaten/stofwisseling
==========

Doordat wij zelf mathematisch in de wereld staan, bezitten wij de mathematische waarheden. Wanneer wij lopen of staan enzovoort beschrijven we namelijk lijnen. Door deze verhouding tot de buitenwereld verwerven we eigenlijk het innerlijke schouwen van de mathematiek. Daar beneden in het slapende bewustzijn (in de bewegende ledematen = wil) ontstaat de mathematiek en deze duikt dan boven op.
In feite hebben we dus van een deel van dit lagere bewustzijn heel duidelijke voorstellingen, hoewel de oorsprong ervan voor het gewone bewustzijn verborgen blijft. In de middelste laag (het voelen) is het bewustzijn dromend en duister. Wij zijn helder bewust in de bovenste laag, waar het gewone dagbewustzijn leeft in het voorstellingsleven, en in datgene wat naar boven komt vanuit de onderste laag van het bewustzijn. [...]

Het is de intellectuele cultuur, die heel duidelijk in ons hoofd zetelt en die doordrongen is van een algemeen geldende wijsheid, wat echter een luciferisch element in ons is.
En wat daaronder (in de slapende wil) ligt, wat in ons mensenwezen naar boven komt, dat is zuiver een ahrimanisch element. [...]

Het is niet voldoende, dat we weten of iets juist is. Wij weten dat de dingen die we met ons hoofd begrijpen juist zijn, maar dat is een geschenk van het lucifereische element. En we weten dat de mathematiek op waarheid berust, maar deze waarheid die ons in zijn macht heeft, danken we aan Ahriman die in ons woont. [...]

Het zieleleven van ons mensen is werkelijk de balans, waarmee we het evenwicht moeten zoeken tussen het luciferische element aan de ene kant en het ahrimanische element aan de andere kant. Het luciferische element ligt alleen in de helderheid van ons hoofd en het ahrimanische element ligt beneden in de wijsheid die ons willen doordringt.
uit: Rudolf Steiner Michaël – De opdracht van Michaël als leidende geest van onze tijd (GA 194) - 4e voordracht, Dornach 28-11-1919


We tellen in werkelijkheid namelijk onderbewust met de vingers.

De mens gelooft gewoonlijk dat hijzelf de getallen heeft uitgedacht, doordat hij steeds het ene bij het andere voegde. Maar dat is helemaal niet waar, het hoofd telt helemaal niet. Men gelooft in het gewoonlijke leven niet wat voor een merkwaardig nutteloos orgaan het menselijk hoofd eigenlijk is voor het aardeleven. Het is er voor de schoonheid, echt hoor, omdat het aangezicht de andere mensen bevalt. Het heeft nog allerlei andere deugden maar voor geestelijke activiteiten is het helemaal niet zo sterk, want hetgeen het mentaal in zich heeft, altijd terug leidt naar het vorige leven op aarde, het is het omgevormde vorige leven op aarde. En een echte zin een hoofd te hebben heeft het voor mensen alleen, wanneer hij iets weet van zijn vroegere aardeleven. Al het andere komt niet uit het hoofd. We tellen in werkelijkheid namelijk onderbewust met de vingers. In werkelijkheid rekenen we op de vingers van 1 tot 10 en bij 11, 12, 13, 14 tellen we verder met de tenen. Dat weet je niet, maar dat doe je als je tot 20 telt. En hetgeen het lichaam op deze manier doet, spiegelt zich in het hoofd. Het hoofd van de mens is in werkelijkheid slechts een spiegelapparaat voor hetgeen het lichaam doet. Het lichaam denkt en telt; het hoofd is slechts de toeschouwer.
Het hoofd lijkt op een vreemde manier op iets anders. Wanneer je hier een auto hebt (Rudolf Steiner tekent op het bord) en je zit lekker achterin, dan doe je eigenlijk niets. De bestuurder moet hard werken. Je zit en je wordt door de wereld rondgereden. Zo is het ook met het hoofd; dat werkt niet hard, dat zit eenvoudigweg op het lichaam en laat zich rustig door de wereld dragen en kijkt alleen maar naar alles. Dat wat gebeurt in het geestelijke leven, dat wordt allemaal vanuit het lichaam gedaan. Gemathematiseerd wordt er van uit met lichaam, gedacht wordt er ook vanuit het lichaam, gevoelt ook. – De telraampjes brengen je op het verkeerde idee dat de mens met zijn hoofd rekent. Dan leert men kinderen rekenen met een telraam, dat wil zeggen dat men in het hoofd spanning brengt en het hoofd brengt dan in het lichaam spanning, want rekenen doen we met het lichaam. Men houdt niet in de gate dat het lichaam moet rekenen. Dat is belangrijk. Daarom ook is het belangrijk dat met het kind met de vingers en ook met de tenen laat tellen, zoals het overigens ook heel goed zou zijn, de kinderen op zoveel mogelijke manieren behendig te maken. Er bestaat bijvoorbeeld niets beters in het leven, dan dat je de mens handig maakt. Dat kan niet alleen door sport, die maakt eigenlijk niet behendig. Maar men maakt iemand behendig door bijvoorbeeld iemand een potlood tussen de grote en de volgende teen te laten houden en hem dan daarmee cijfers met zijn voet te laten schrijven. Dit is wellicht iets wat betekenis kan hebben, omdat de mens in waarheid in zijn hele lichaam van ziel doordrongen is, van geest doordrongen is. Het hoofd is de op de achterbank leunende passagier die niets doet, terwijl het lichaam ondertussen de chauffeur is die alles moet doen. En zo moeten we proberen vanuit verschillende richtingen op te bouwen, wat het kind als getallen zal moeten leren.[...]

Er hangt veel vanaf dat we het rekenen zo leren als hier is beschreven, opdat de mens ook op oudere leeftijd nog beweeglijk en behendig blijft. Wanneer u met het menselijke lichaam leert tellen, zoals ik heb beschreven 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en dan verder met de tenen - ja het zou heel goed zijn de kinderen werkelijk met de vingers en de tenen te laten tellen, niet met een telraam – wanneer u dat de kinderen leert, dan zult u zien, dat door dit kinderlijke mediteren – want wanneer men met zijn vingers telt en wanneer men de tenen telt, dan moet men ook aan de vingers en tenen denken en dat is een mediteren over het eigen lichaam, welliswaar een gezond mediteren – dan brengt u leven in het lichaam binnen. Daardoor zal men ook op hogere leeftijd behendiger zijn met de ledematen, omdat u met het hele organisme tellen hebt geleerd.

uit: Rudolf Steiner Die Kunst des Erziehens aus dem Erfassen der Menschenwesenheit
(GA 311) 5e voordracht - Torquay, 16 augustus 1924

met de voeten schrijven

De vaardigheid van het schrijven bij brengen is een opgave in de eerste leerjaren (klas 1 en 2). De vrijeschool-pedagogie, die vooral juist ten eerste de wil van de kinderen wil aanspreken, gaat er vanuit dat het lezen vanuit het schrijven moet worden ontwikkeld. Rudolf Steiner zei in 1921 tegen een groep jongeren met daaronder ook enkele leraren van de eerste Waldorfschool in Stuttgart:

Onder de vele kritische opmerkingen, die tegen de Waldorfschool worden geuit, luidt er een, dat bij ons sommige kinderen met negen jaar nog niet perfect kunnen lezen en schrijven. Daar is niets tegen in te brengen, want het klopt, ze kunnen het inderdaad niet. Maar wijzelf hebben ook helemaal niet het doel dat de kinderen met acht, negen jaar vlekkeloos kunnen lezen en schrijven, omdat het voor degene, die de natuur van de mens werkelijk kent, duidelijk is dat de vaardigheid op de manier zoals die op de tegenwoordige scholen wordt ontwikkeld, de mens tot een halve denk-automaat maakt. In plaats van kinderen zo maar letters te laten overschrijven, laten wij de kinderen met kleuren aan de slag gaan. Doordat zij daarbij leren iets te ervaren, behouden zij dat voor het leven van hun ziel, omdat die anders zal verdorren.Uit: Aus den Inhalten der esoterischen Stunden, III (GA 266c)
Stuttgart, 5 oktober 1922


Anders dan in Steiners tijd, hebben we heden tegenwoordig vaker te maken met een vertraagde bewegingsontwikkeling bij kinderen en deze senso-motorische problematiek wordt natuurlijk ook bij het schrijven zichtbaar. Enige tijd geleden is op deze blog een nieuwe serie voorbereidende schrijfoefeningen gepubliceerd. Het is de moeite waard om dit met een klas, of met een leerling in een één-op-één-situatie te oefenen. (klik hier).
Een advies dat Rudolf Steiner geeft is de kinderen te laten oefenen in het schrijven met de voet. De foto’s in deze bijdrage zijn gemaakt in de eerste schoolweken in een derde klas (groep 5). In die klas kunnen de kinderen leren met hun voet verbonden schrift te schrijven. Men kan al vanaf klas 1 eenvoudige geometrische vormen en lettervormen laten tekenen. Wanneer men dit vanaf klas 1 (groep 3) van tijd tot tijd met de kinderen oefent, dan zijn zij in staat om in de derde klas met de voet aan elkaar te schrijven.
Maar eerst wijst Rudolf Steiner er op hoe enorm belangrijk het tekenend/schilderend schrijven is en dat men met de ogen kijkt naar en volgt wat men doet:

Je moet eigenlijk mensen leren schrijven op een zelfde manier als het schilderen. Het is veel hygiënischer, veel gezonder. Als men zo schrijft dat men tegelijkertijd de ogen op het werk gericht houdt en er esthetisch plezier aan beleeft met heel zijn persoon, wanneer men dus zo schilderend schrijft, dan wordt het mechanische element in het bewegen verder in het lichaam teruggedrongen. Niet de losse pols schrijft dan, maar men schrijft meer vanuit het innerlijk van het lichaam. En dat is zeer belangrijk omdat het mechanische aspect dan veel meer wordt weggeleid van de periferie terug naar de hele mens. U zult ook zien: als het lukt, iemand dit schilderend schrijven goed bij te brengen, dat hij tenslotte ook leert om goed met de voet schrijven. Het zou een overwinning zijn als we een kind zover zouden kunnen krijgen dat het een potlood tussen de grote teen en de volgende teen kan houden en dan mooie letters zou kunnen vormen. Ik bedoel niet dat het kunstmatig moet worden getraind, maar het gaat erom de mechanische activiteiten te verleggen naar de gehele mens.

U zult het met me eens zijn dat mensen die, wanneer er bijvoorbeeld iets van de wastafel valt en wat zij dan niet met de tenen kunnen oppakken, inderdaad buitengewoon onbeholpen zijn. Een mens zou dat op zijn minst toch moeten kunnen. Het lijkt belachelijk dat zo te zeggen, maar u zult begrijpen dat het op iets belangrijks wijst. Men zou dus het schilderend schrijven moeten beoefenen, want aan de ene kant wordt daardoor de eigenlijke mechanische activiteit in het lichaam teruggeduwd, en aan de andere kant wordt de verbinding van de mens met wat hij schrijft omhoog gehaald. De mens wordt daarmee ingevoegd in zijn omgeving. Men moet zich echt aanwennen om alles wat men doet met de ogen te volgen, niets alleen maar gedachteloos te doen maar het te zien; en meestal wordt er geschreven zonder erbij na te denken.
Het schrijven wordt op die manier een veelzijdige activiteiten, maar juist daardoor zullen we in staat zijn om het te beschouwen als iets dat van grote betekenis is in het onderwijs. Bij het rekenen staat het echte schrijven niet zo op de voorgrond, omdat de mens dan te veel in beslag genomen wordt door de intellectuele arbeid, dan treedt het schrijfwerk meer of minder naar de achtergrond.
Uit: Menschenerkenntnis und Unterrichtsgestaltung (GA 302) voordracht van 15 juni 1921


Lori Maier Schmits was een meisje dat bij Rudolf Steiner kwam met de vraag naar een vernieuwing van de danskunst. Daarmee ontstond de euritmie. Steiner gaf haar vele aanwijzingen, waaronder: En dan moet u leren met de voeten te schrijven. Daardoor krijgt men namelijk een zeer fijne gevoeligheid in de voeten en leert men intieme, gedifferentieerde voetbewegingen te maken.
Uit: Wir erlebten Rudolf Steiner –Erinnerungen seiner Schüler


Men kan zich voorstellen dat men bij het schrijven met de voet iets vanuit het verstand, vanuit het denken (de letter) met wilskracht tot diep in het lichaam moet brengen, naar de voet. Wanneer men dit als volwassene oefent kan men werkelijk ook meer begrip krijgen voor hoe moeilijk het kan zijn voor de eersteklasser om zich deze vaardigheid eigen te maken. De ledematen gehoorzamen namelijk niet altijd direct op wat het hoofd zou willen.
Bij een van zijn bezoeken aan de eerste Waldorfschool rapporteerde Steiner in de lerarenvergadering:

Dan hebben we het schrijven. Er zijn sommige kinderen die heel slecht schrijven en er zijn een heleboel, die uitstekend schrijven. De kinderen zullen er niet veel aan hebben, als je alleen maar probeert het handschrift te verbeteren door het schrijven te oefenen. Maak de vingers behendiger! Dan leren ze beter schrijven.
Ik geloof niet, dat je een slecht handschrift beter krijgt door je in te spannen om het schrijven te verbeteren. Je moet je inspannen de kinderen in het tekenen van vormen bedreven te maken. Als ze piano zouden kunnen spelen, zouden ze beter leren schrijven. Het is zeker een waarheid als een koe dat dit verslechteren van het handschrift nu optreedt, in een tijd waarin het speelgoed van de kinderen zijn zo extreem materialistisch is geworden. Het is ronduit schandalig dat een groot deel van het speelgoed uit bouwdozen bestaat. Dat is geen speelgoed, want het is atomistisch. Als het kind bijvoorbeeld een eenvoudige smidse krijgt, dan moet een kind dat leren gebruiken. Ik wil graag een kind een stuk speelgoed geven dat kan bewegen. Dat staat ook in ‘De opvoeding van het kind in het licht van de antroposofie’. Het speelgoed is vandaag de dag verschrikkelijk slecht, waardoor de kinderen geen vingerbehendigheid meer ontwikkelen en waardoor ze dan moeizaam schrijven.

Het zou zelfs voldoende zijn wanneer deze kinderen, die met de hand slecht schrijven, om die zeer eenvoudige vormen met hun voeten te laten tekenen. Dit heeft zijn weerslag op de hand. Teken kleine cirkels met je voeten. Halve cirkels, driehoeken. Dat krijgen ze een potlood tussen de grote teen en de volgende en ze maken dan cirkels. Het is niet makkelijk om te doen, maar het gaat en het is zeer interessant. Buiten in het zand, zou ik ze figuren laten tekenen met de met een stok tussen de tenen. Dat werkt ongelooflijk sterk terug op de hand. Of laat een kind iets oppakken met de voet, een zakdoek met de voet oppakken in plaats van met de hand. Ik zeg niet dat ze moeten eten met hun voeten want je moet het nu ook weer niet overdrijven, begrijpt u wel. Men moet proberen niet direct te werken op het verbeteren van het schrijven, maar vaardigheid ontwikkelen, om de kinderen bedreven te maken in het tekenen van vormen, een ingewikkelde vorm symmetrisch uit te werken.
Uit: Konferenze mit dem Lehrern (GA 300a) 14 juni 1920)

hier is zichtbaar hoe de activiteit met de voet terugwerkt op de hand

Uit een voordracht die Steiner in Nederland heeft gehouden:

Dit zijn de dingen die men weer moet leren begrijpen. Men moet weten dat een jochie vaak veel beter inzicht heeft in het verschil tussen een stompe en een scherpe hoek, zelfs als ik die nog zovaak en veel op het bord teken. We moeten weten dat we, veel beter dan door begripsmatige uitleg, inzicht in de wereld ontwikkelen, wanneer we de kinderen leren om een potlood tussen de grote teen en de volgende vast te houden en daarmee ook nog goed gevormde letters te maken. Dat wil zeggen dat vanuit het hele lichaam het geestelijke van de mens vloeit. In de Griekse cultuur lette men erop hoe een kind leerde om zich te bewegen, hoe het leerde om warmte en koud te verdragen, hoe het leerde zich in te passen in de lichamelijke wereld. Want men had het idee dat uit een goed ontwikkelde lichamelijkheid ook het geestelijk-zielsmatige zich goed zou ontwikkelen. De Griek, die was opgevoed als een gymnast, doordrong met zijn wezen de gehele mens en de andere vaardigheden konden zich daaruit ontwikkelen.
Uit: Der pädagogische Wert der Menschenerkenntnis und der Kulturwert der Pädagogik (GA 310),
9e voordracht - Arnhem, 24 juli 1924


In de 'Heilpedagogische Cursus' bespreekt Rudolf Steiner een oudere jongen, pupil in een van de instituten. Wat hij hierover zei, werpt een nog duidelijker licht op het menskundig aspect van zo’n ogenschijnlijk simpele oefening als het schrijven met de voeten. Ook voor gewone schoolkinderen kan van toepassing zijn, wat hij hier zegt:

Nu, u hebt gezien dat de jongen het vraagstuk kon oplossen. Maar dat kon hij niet ineens. Heel verheugd kwam hij met de oplossing terug, nadat ik hem had gezegd dat hij er anderhalf uur over mocht doen. Hij had dus anderhalf uur de tijd gehad, en hij was heel verheugd dat hij het vraagstuk had opgelost. U hebt daarbij heel duidelijk gezien, de jongen kon het. Alle delen van zijn organisme hadden aan de zaak deelgehad. Hij heeft alleen veel meer tijd nodig om de zaak ten uitvoer te brengen. Dat wil zeggen dat zijn etherlichaam en fysieke lichaam onmiddellijk weerstand bieden, zij ontplooien niet hun functies, ofschoon de mogelijkheden tot die functies aanwezig zijn.

Nu is het met hem zo gesteld dat de jongen, als men nagaat hoe het met zijn belangstelling staat, de interesses in ieder geval zo zijn dat zij in de organisatie van zijn hoofd blijven steken. Ze kunnen niet tot in de overige organisatie naar beneden doordringen. [...]

Op het moment dat iets hem interesseert is hij er helemaal bij. Maar als hij dat helemaal tot in zijn stofwisselings-ledenmatenstelsel moet laten doordringen dan sputteren zijn etherlichaam en fysiek lichaam heel erg tegen. En juist hierbij is het nodig op deze leeftijd, hoewel het moeilijker is dan op jongere leeftijd, met een pedagogisch-therapeutische maatregel in te grijpen, wat verijst dat u die dingen die hij met belangstelling volgt, als uitgangspunt neemt. Dat u hiervan uitgaande verder gaat om zijn interessekring naar alle kanten te verwijden. [...]


In eerste instantie is het voor hem moeilijk de weg van de organisatie van het hoofd uit naar het stofwisselingorganisme te gaan – en zoals u van mij gehoord hebt, nog verder naar de buitenwereld toe. Want hij heeft daarvoor geen perceptievermogen. Ook niet in die subtiele mate die bij een normaal mens aanwezig is. Bemerkt hij daarentegen de vaardigheid van zijn eigen ledenmaten, dan zal hij daaraan veel vreugde beleven. U moet hem dus dingen laten doen, waarbij hij de vaardigheid van zijn eigen ledematen ziet. Dat zal vooral kunnen worden gestimuleerd door hem heileuritmie-oefeningen met zijn handen en benen te laten doen. Maar u moet daarbij op een heel energieke wijze zijn vingers en tenen tot beweeglijkheid brengen, en u moet hem daarbij de blik op dat hele bewegingsproces van zijn ledematen laten richten; hij moet dus zichzelf daarbij observeren.

Het is goed voor zulke kinderen, die reeds vroegtijdig laten blijken dat zij wat hun hoofd uitdenkt niet in het organisme laten afdalen – bij deze jongen is het al te laat, maar u kunt immers telkens weer zulke kinderen in behandeling krijgen – voor hen is het heel goed, van hen proberen gedaan te krijgen dat zij om te beginnen met hun hoofd hun voeten bereiken. Als u dat bij uzelf probeert zult u zien dat dat een moeilijke procedure is. Maar het is goed zulke kinderen die het in dit opzicht moeilijk hebben er toe te brengen, dat zij hun eigen tenen kunnen kussen. Verder is het ook goed – en dat zal steeds zijn uitwerking hebben, het zal zelfs voor deze jongen bijzonder heilzaam kunnen zijn – dat men zulke kinderen er toe aanzet, dat zij tussen hun grote teen en hun tweede teen een potlood vasthouden en op die manier lettervormen natekenen. En dat zij er dan vreugde aan beleven hoe ze met hun voeten leren schrijven.
Uit: Genezend opvoeden - Heilpedagogische Cursus (GA 317),
10e voordracht – Dornach, 5 juli 1924